Convengamos en considerar pruebas matem�ticas cl�sicas las que aparecen, por ejemplo, en los Elementos de Euclides. Hoy nos separan de los Elementos siglos de distancia y simas de diferencia. Su geometr�a carece de un concepto general de espacio como conjunto de puntos y su aritm�tica no cuenta con la noci�n de serie num�rica, sin ir m�s lejos. En todo caso, el lenguaje matem�tico de los Elementos es una lengua muerta: con el advenimiento de los tiempos modernos, el lenguaje de Euclides empez� a verse desplazado por otros lenguajes m�s operativos o m�s abstractos (p.ej. la geometr�a anal�tica o el �lgebra) y, al fin, la matem�tica progresivamente estructural y simb�lica del s. XIX le dio el golpe de gracia.

Sin embargo, es curioso que Frege, uno de los promotores m�s relevantes de la rigorizaci�n del pensamiento y del lenguaje matem�ticos en la segunda mitad del XIX, abra sus Fundamentos de la aritm�tica (1884) declarando: �Despu�s de haberse alejado por alg�n tiempo del rigor eucl�deo, la matem�tica retorna a �l ahora e incluso trata de sobrepasarlo�. Tambi�n es curioso que en nuestros d�as un libro concebido para hacer inteligible la pr�ctica actual de las matem�ticas, Experiencia matem�tica de Ph.J. Davis y R. Hersh (1982), a la hora de dar un ejemplo de la demostraci�n matem�tica no encuentre �nada mejor� �expresi�n propia� que la proposici�n 47 del libro I de los Elementos (el "teorema de Pit�goras").

De la uni�n de ambos cabos surge la pregunta: �por qu� las pruebas de los Elementos nos siguen pareciendo no s�lo rigurosas sino efectivamente convincentes?

1. Propuesta.

La cuesti�n es c�mo se explica que las pruebas de los Elementos todav�a mantengan su fuerza demostrativa y su poder de convicci�n. Cediendo a la tentaci�n de un planteamiento m�s espectacular, podr�amos preguntarnos: �A qu� se debe la rara

fortuna de un discurso, matem�ticamente muerto seg�n todos los visos, que a�n representa un paradigma del rigor y la ret�rica del "Q.E.D." de los matem�ticos?

Uno de nuestros modos de reconocer la validez concluyente de una demostraci�n es su formalizaci�n l�gica. Pero la opci�n por el formalismo no nos deparar�a una explicaci�n satisfactoria de la fortuna de Euclides: es notoria la informalidad con que discurren las pruebas textuales de los Elementos si sus proposiciones se analizan a la luz de, por ejemplo, nuestra l�gica de la cuantificaci�n 1.

Uno de nuestros modos de reconocer el rigor -incluso informal- de las pruebas dentro de una teor�a deductiva es su axiomatizaci�n. A pesar de la existencia de toda una tradici�n historiogr�fica empe�ada en tomar los Elementos como arquetipo de la axiomatizaci�n �diz que "cl�sica" o "material"�, el tratado tambi�n deja bastante que desear en este sentido. Y as� otra tradici�n no menos tenaz, justamente la de axiomatizar la geometr�a euclidiana, ha tenido trabajo hasta, digamos, finales del siglo pasado. En suma, no creo que las virtudes l�gicas y axiomatiformes de los Elementos �combinadas con sus faltas de virtud- nos basten para explicar su valor demostrativo y su poder de convicci�n.

Creo, en cambio, que la cuesti�n planteada se desdobla en dos: (1) en qu� consiste el rigor informal de las pruebas de los Elementos, (2) c�mo se explica su �xito, y me parece que la consideraci�n positiva de la cuesti�n (1) es un camino prometedor para abordar la (2). Por consideraci�n "positiva" entiendo la que trata de averiguar la conformaci�n interna de ese presunto rigor, en lugar de verlo simplemente al trasluz o como un "negativo" de nuestros propios modelos formales de rigorizaci�n.

Seg�n esto, la l�nea de interpretaci�n �en relaci�n con (1)� y de explicaci�n � con miras a (2)� que voy a sugerir, considera dos tipos de estrategias de incidencia variable seg�n los casos, pero siempre activas y entretejidas en la trama de la demostraci�n eucl�dea: (a) estrategias representativas o formas de hacer ver y (b) estrategias discursivas o formas de hacer saber la proposici�n considerada. T�picamente, las primeras se sirven de unos recursos como las met�foras conceptuales o las configuraciones diagram�ticas; las segundas se sirven de unos recursos como las expresiones formularias, las definiciones y dem�s asertos primordiales, los n�cleos o los cuerpos deductivos derivados. No excluyo que la distinci�n s�lo tenga a veces una significaci�n tendencial u orientadora y, de hecho, no faltan procedimientos met�dicos concretos que parecen moverse en un sentido mixto o ambivalente 2. Con todo, la atenci�n de los comentadores de los Elementos ha tendido a fijarse en las estrategias de tipo (b), mientras que las estrategias representativas o intuitivas de tipo (a) no suelen recibir el reconocimiento que merecen. Aqu�, en cambio, resaltar� su contribuci�n espec�fica a la evidencia de la prueba y su complicidad con las estrategias discursivas en la eficacia de la demostraci�n. M�s a�n, dar� por descontados los aspectos discursivos en general y, en particular, "la estructura deductiva" de las demostraciones y de las teor�as de los Elementos, y me atendr� b�sicamente a dos de los recursos del tipo (a): las met�foras y los diagramas. Espero que su consideraci�n ser� suficiente para hacerse una idea de por d�nde podemos dar con una clave interpretativa del rigor informal de las pruebas de Euclides y, en definitiva, con una de las claves posiblemente determinantes de su �xito.

Supongo, en fin, que esta trama representativo-discursiva de la demostraci�n bien puede formar parte de una reinterpretaci�n no s�lo de las pruebas cl�sicas, sino del rigor informal de unas pr�cticas matem�ticas relativamente comunes, dentro de un marco general de acciones e interacciones cognitivas. As� que, en �ltimo t�rmino, mi interpretaci�n tambi�n apuntar�a hacia una filosof�a "humanista" o pragm�tica de las matem�ticas, horizonte que se ha empezado a entrever en este final de siglo 3.

2. Met�foras.

Los Elementos, al igual que las matem�ticas de todos los tiempos, abundan en expresiones metaf�ricas -v.g. "base"; "is�sceles (de piernas iguales)"; "escaleno (cojo o torcido)"; "k�klasthai (quebrar)"-. Pero cuando hable de met�foras a partir de ahora no me referir� a estos usos figurativos, traslaticios u otros por el estilo, en una perspectiva literaria, sino a representaciones o conceptualizaciones como las estudiadas por las recientes teor�as cognitivas de la met�fora; no me referir� a figuras del lenguaje sino, a trav�s o por debajo de ellas, a formas de concebir, entender o figurarse algo. En este marco cognitivo, las met�foras consisten en representaciones o conceptualizaciones de algo en los t�rminos propios de otra cosa, situaci�n o actividad m�s familiar; en �ltima instancia responden al medio corporal y al mundo propioceptivo de nuestras experiencias. As�, por ejemplo, asimilamos cantidades o magnitudes relativas del tipo m�s o menos a nuestra experiencia espacial y motriz cuando entendemos o significamos m�s en t�rminos de arriba/adelante (ir a m�s es ascender, avanzar, progresar) y menos en los correlativos de abajo/atr�s (venir a menos es decaer, declinar, retroceder, entrar en recesi�n). El hecho de que estas formas de ver y de apreciar un cambio de magnitud se manifiesten por medios no s�lo ling��sticos -v.g. "suben (bajan) los precios"-, sino mediante gr�ficos o por gestos, puede ser se�al del papel b�sico o primario desempe�ado por tales met�foras en nuestra cultura.

       Entre esas teor�as cognitivas una, que aspira a dar cuenta justamente de �la estructura metaf�rica de las matem�ticas� (Lakoff y N��ez, 1997), me permitir� algunas precisiones. Las met�foras -por ejemplo "mil es un n�mero mucho mayor que diez", "tres m�s dos hacen cinco"- vienen a ser aplicaciones proyectivas de la estructura de un dominio m�s familiar, el dominio fuente (source domain) o dominio de proyecci�n -colecciones y construcciones, en los ejemplos dados- sobre otro, el dominio diana (target domain) o dominio de aplicaci�n -n�meros-. La estructuraci�n envuelve tanto la proyecci�n de esquemas de im�genes, como la de pautas inferenciales, de modo que la estructura figurativo-esquem�tica del dominio de proyecci�n conforma o configura el de sus aplicaciones y la estructura inferencial se preserva en cualquier dominio de aplicaci�n, salvo cuando la estructura de �ste no cuadra con la del dominio de proyecci�n 4. Lakoff distingue dos clases principales de met�foras: b�sicas y de enlace. Las b�sicas proyectan un sector de nuestro mundo corporal o primario de experiencia �experiencias de reunir o coleccionar cosas, construir, caminar, etc.� sobre el dominio de aplicaci�n; las de enlace, a su vez, proyectan un dominio previamente metaforizado o un campo de conocimientos sobre otro distinto -ser�a lo que hacemos cuando, por ejemplo, tratamos las l�neas o lugares de puntos (un dominio geom�trico de aplicaci�n) en t�rminos de conjuntos de n�meros reales (un dominio aritm�tico de proyecci�n).

El ensayo de Lakoff-N��ez (1997) es no s�lo sugerente sino provocador e invita a entrar en discusi�n. Pero eludir� el debate y procurar� sacar partido de las nociones que acabo de apuntar. Con todo, creo que no estar� de m�s discernir entre analog�as, met�foras, metonimias e isomorfismos, antes de considerar la metaforizaci�n como una de las v�as de conceptualizaci�n y de inferencia informal en los Elementos.

Convengamos en entender por analog�a una comparaci�n o cierta similitud - expl�cita, "A es como B (en tal o cual respecto)", o impl�cita, "A es (una suerte de) B"-entre dominios conceptualizados o caracterizados; digamos entonces que una analog�a halla o explota una correspondencia, por lo regular con fines heur�sticos. As�, por ejemplo, Arqu�medes propone concebir ciertos objetos geom�tricos -l�neas y puntos- en t�rminos mec�nicos -como palancas y centros de gravedad- en las proposiciones del M�todo. En cambio, una met�fora es una conceptualizaci�n o caracterizaci�n de un dominio -de aplicaci�n- en t�rminos de otro dominio -de proyecci�n-; una met�fora, digamos, crea una correspondencia. Si las met�foras admiten formulaciones identificativas, apositivas, comparativas, cuando no obran de manera impl�cita, la metonimia suele tener una formulaci�n sustitutiva -v.g. "ha le�do a Cervantes", "Turqu�a ha iniciado conversaciones con Bruselas", "sac� el acero"- y representa o conceptualiza metaf�ricamente algo en t�rminos de otra cosa con la que guarda cierta relaci�n. En fin, un isomorfismo es una correspondencia estructural entre dominios de relaciones dados, una correspondencia de segundo orden, podr�amos decir. Sirva de muestra la idea de proporci�n como igualdad de razones, A:B = C:D o �como A es a B [raz�n o correspondencia1], as� C es a D [raz�n o correspondencia1']�, donde �como..., as�...� marcar�an otra correspondencia2 no s�lo entre elementos sino entre razones. Aunque no sea precisamente �sta la proporci�n eucl�dea -no consiste en una relaci�n di�dica de identidad, sino m�s bien en una relaci�n tetr�dica de la forma A:B :: C:D, donde la noci�n de raz�n, carente de entidad propia, se limita a habilitar un dominio compuesto por magnitudes arquimedianas homog�neas-, la teor�a de la proporci�n de los Elementos se desarrolla y se generaliza -a partir de las deff. 5, 6, 7 del libro V- mediante patrones estructurales que conceptualizan dominios de relaciones entre magnitudes conmensurables e inconmensurables, p.ej. conforme al patr�n de alternancia: �si como A es a B, as� C es a D, entonces por alternancia como A es a C, as� B es a D� (cf. Elementos V, 16; VII, 13). Ni que decir tiene que tales patrones o esquemas estructurales de la teor�a generalizada de la proporci�n s�lo podr�an llamarse "metaf�ricos" por un abuso del lenguaje 5.

Con estos supuestos podemos rastrear las huellas de diversas conceptualizaciones metaf�ricas en los Elementos. Dos met�foras principales son la de todo/partes y la de comprender/estar comprendido -tomo "comprender" en el doble sentido de abrazar, ce�ir o rodear, y de contener o incluir alguna cosa-. La segunda met�fora act�a, por ejemplo, en las definiciones geom�tricas de l�nea recta (�es aquella que yace por igual respecto de los puntos que est�n en ella� [libro I, def. 4] 6), de superficie plana [I, def. 7], de �ngulo rectil�neo (�cuando las l�neas que comprenden el �ngulo son rectas, el �ngulo se llama rectil�neo�, [I, def. 9]) y, en general, de figuras cerradas (el c�rculo [def. 15] y el semic�rculo [def. 18] 7; las figuras tril�teras, cuadril�teras y multil�teras [deff. 19-22]), a partir de la noci�n misma de figura: �una figura es lo contenido por uno o varios l�mites� [def. 14]. Tambi�n aparece con frecuencia en otros lugares, p.ej. entre las definiciones del libro III y, m�s a�n, entre las de libro XI. Con la complicidad de la representaci�n diagram�tica, seg�n veremos luego, esta met�fora contribuye a suplir informalmente un postulado de continuidad topol�gica que brilla por su ausencia en los Elementos -ser�a preciso para la justificaci�n axiom�tica de la existencia de intersecciones-. A sus servicios configuradores, puede a�adir otros inferenciales como el que presta en la prueba de la proposici�n I 4 en los t�rminos: �dos rectas encerrar�n un espacio; lo cual es imposible�; la tradici�n de los comentaristas del tratado de Euclides transformar� luego este argumento en una noci�n com�n adicional, en el axioma expreso: �dos rectas no contienen un espacio� (cf. Proclo, In I Euc. Comm., 196.21).

La met�fora todo/partes reviste, a su vez, especial importancia en los libros V y VII en orden a la conceptualizaci�n de una relaci�n de medida que tampoco est� definida en el texto de los Elementos. Pero ya obra a efectos excluyentes en la def. 1 del libro I, �un punto es lo que no tiene partes�, y sienta una base inferencial gen�rica en la noci�n com�n 8, �el todo es mayor que la parte�. Veamos estos dos casos, antes de pasar a la "teor�a inducida" de la medida. La def. I 1 y su contexto significan que un punto es algo que ni es parte ni tiene partes: los puntos geom�tricos no son un dominio de aplicaci�n de esta met�fora, sino que, al igual que las l�neas y las figuras en general, son un dominio de aplicaci�n de la met�fora de comprender o estar comprendido - recordemos la idea aristot�lica de que la l�nea es un continuo en el que est�n comprendidos los puntos (p.ej. como los extremos de un segmento, cf. Elementos, I, def. 3), pero no se compone de puntos o indivisibles contiguos o sucesivos 8. Dentro de la perspectiva de los Elementos, esto anuncia una demarcaci�n entre la geometr�a y la aritm�tica. La noci�n com�n 8, a su vez, nunca aparece literalmente como relaci�n todo/parte en las pruebas; por regla general, act�a en los t�rminos de mayor/menor y a los efectos inferenciales de la reducci�n al absurdo, p.ej. si no fuera el caso que se trata de demostrar, un determinado tri�ngulo menor resultar�a igual a otro mayor (I, 6), o el mayor al menor (I, 39), lo cual es imposible. Se supone que A es mayor que B si hay una porci�n de A igual a B -porci�n que podr�a ser B mismo, pero no A entero-, am�n del principio de tricotom�a, y as� la noci�n se integra con las restantes nociones comunes de los Elementos acerca de la igualdad -hay pruebas p.ej. en las proposiciones

I 7 y III 13, que no comparan un todo con una parte propia y all� el discurso inferencial cobra cierto �nfasis ret�rico, p.ej. �Puesto que ΓB es a su vez igual a ~B, tambi�n es igual el �ngulo Γ~B al �ngulo ~ΓB. Pero se ha demostrado que es mucho mayor que �l; lo cual es imposible� (I 7)-. Estos usos formularios de la noci�n com�n 8, en versi�n mayor/menor, y sus servicios inferenciales se mantienen en la aritm�tica (p.ej. VII 2, 3, 34, 36; VIII 1, 4), aunque ahora integrados en una "teor�a de la medida" que permitir�a el empleo inequ�voco de los t�rminos originales todo/parte. Su transcripci�n en los t�rminos gen�ricos de la contraposici�n mayor/menor tiene ventajas como la de preservar su eficacia rigurosamente concluyente en los �mbitos dispares de la aritm�tica y la geometr�a, si bien en el supuesto de su adecuaci�n contextual en cada caso, p.ej. en aritm�tica bajo la f�rmula: �el [n�mero] mayor medir� al menor�, lo cual es imposible

(VII 2) 9.

La "teor�a de la medida" de los Elementos es, a mi juicio, una ilustraci�n cabal del poder de conceptualizaci�n de la met�fora del todo y las partes. Seg�n es bien sabido, no hay definici�n alguna de las relaciones capitales de medir-a o ser-medido�por. Aparecen en el libro V de la mano de las nociones de magnitud, �una magnitud es parte de una magnitud, la menor de la mayor, cuando mide a la mayor� (def. 1), y de m�ltiplo, �y la mayor es m�ltiplo de la menor cuando es medida por la menor� (def. 2). Pero su dependencia de la met�fora se hace m�s notoria en el p�rtico del libro VII: �un n�mero es una pluralidad compuesta de unidades� (def. 2), �un n�mero es parte de un n�mero, el menor del mayor, cuando mide al mayor� (def. 3), �pero partes cuando no lo mide 10� (def. 4), �y el mayor es m�ltiplo del menor cuando es medido por el menor� (def. 5). Si redondeamos este contexto con la def. 1 de unidad, �aquello en virtud de lo cual cada una de las cosas que hay es llamada una�, podremos dar a la met�fora la raigambre y la significaci�n que se merece. Recordemos que las nociones de unidad, uno y n�mero ven�an sumidas en un maremagno de intuiciones parad�jicas, si no francamente antin�micas 11. De esta tradici�n filos�fica, dial�ctica y matem�tica se pod�a sacar en claro que el uno no era un n�mero, pero poco m�s. El mismo Plat�n, cuya lucidez le permit�a ironizar a cuenta de los matem�ticos: �Hombres maravillosos, �de qu� n�meros habl�is, en los que se halla la unidad tal como la consider�is, como igual a cualquier otra unidad sin diferir en lo m�s m�nimo y sin contener en s� misma parte alguna?� (Rep�blica, VII 526a) -tambi�n a �l cabr�a preguntarle: divino Plat�n, �sobre qu� uno discurres en el Parm�nides?-, bastante ten�a con liberar a los n�meros en s� de las servidumbres del c�lculo y elevarlos a la condici�n est�tica de Ideas. En todo caso los Elementos dejan traslucir tanto la selecci�n como la reelaboraci�n a que somete Euclides esa tradici�n aritm�tica y su trasfondo metaf�rico. De la unidad, por ejemplo, importan su indivisibilidad, expl�cita en VII, def. 1, y su discernibilidad, impl�cita en la def. 2. De la primera se sigue la imposibilidad de un proceso infinitamente decreciente de medici�n de un n�mero (aducida en la prueba de VII 31). La segunda tiene que ver con la idea del n�mero de veces que una unidad es parte de - mide a- un n�mero: idea de reiterabilidad que tambi�n puede prestarse a perplejidades, as� que su funcionamiento en aritm�tica exige cierta elaboraci�n cr�tica al tiempo que supone otra tradici�n m�s bien operacional que meramente metaf�rica 12. Un trasunto de esta tradici�n operacional y "log�stica" podr�a ser el tratamiento de la divisi�n por reducci�n a unidades partitivas dentro de la teor�a de la proporci�n 13. Consideremos, por ejemplo, la divisi�n de 12 por 3. En t�rminos de la teor�a de la medida, se dir�a que 12 est� medido 4 veces por 3 o que 3 mide a 12 seg�n las unidades de 4 �si se quiere ser m�s fiel al lenguaje de VII 22�, y esto en t�rminos proporcionales equivaldr�a a 3:12 :: 1:4, lo cual permite una distinci�n entre la unidad absoluta de medida -inmedible o indivisible- y las posibles unidades num�ricas relativas, p.ej. el n�mero 3 en el ejemplo dado: 3 es parte de 12 tantas veces como la unidad absoluta 1 es parte de 4. Euclides hace uso expreso de la unidad absoluta como t�rmino proporcional en VII 15 -cuyo enunciado se dejar�a esquematizar en la f�rmula: �si 1 :a :: b:c, entonces por alternancia 1 :b :: a:c�-; para el caso de las unidades relativas, parte o partes, cf. VII 9-10. Por lo dem�s, no faltan otros signos de la elaboraci�n de la met�fora todo/partes en el marco de la teor�a de la proporci�n aritm�tica de los Elementos: p.ej. comp�rese la proposici�n gen�rica de Arist�teles: �el todo es al todo como cada parte es a cada parte� (EN 1131b14) con el teorema VII 11: �si como un todo es a un todo, as� es un n�mero a un (n�mero) restado, tambi�n el resto ser� al resto como el todo al todo�. Uno de los momentos culminantes de esta reelaboraci�n eucl�dea de un legado operacional y log�stico en la teor�a de la medida es la determinaci�n efectiva de la medida com�n m�xima (MCM) entre dos o m�s n�meros por �anthypha�resis� o sustracci�n rec�proca sucesiva. Una versi�n informal �seg�n corresponde a su uso por parte de Euclides�, pero como rutina o algoritmo �seg�n corresponde a su car�cter rigurosamente efectivo� , podr�a ser la siguiente:

(i) sean los n�meros m, n, tomados en orden de mayor a menor: <m, n>; (ii) si n se mide a s� mismo y mide a m sin residuo, entonces n es la medida com�n y la medida m�xima pues ning�n n�mero mayor que n podr�a medir a n, as� pues MCM = n; (iii) en otro caso, se resta n de m -el menor del mayor- y se reinicia el procedimiento: se aplican al sustraendo n y al resto r la cl�usula (i) y seguidamente la cl�usula (ii) o la (iii), seg�n sea el caso 14.

El proceder �anthyphair�tico� cumple varios cometidos a trav�s de los Elementos: es un criterio de primos relativos en VII 1 -dos n�meros son primos relativos, primos entre s�, si su MCM es la unidad absoluta-; es un m�todo efectivo para hallar la MCM de dos [VII 2] o m�s n�meros [VII 3] no primos entre s�; tambi�n es un criterio de inconmensurabilidad entre magnitudes en X 2 -si la aplicaci�n del procedimiento a unas magnitudes dadas conduce al absurdo de que la mayor mida a la menor, las magnitudes dadas son inconmensurables-; y es, en fin, un m�todo efectivo para hallar la MCM de dos magnitudes conmensurables en X 3. Por esta v�a de la reelaboraci�n de un trasfondo met�f�rico y operacional en una teor�a de la medida, los Elementos vendr�n a relacionar las magnitudes con los n�meros en X 5-6: dos magnitudes son conmensurables si y s�lo si guardan entre ellas la raz�n que un n�mero guarda con otro n�mero -resultado m�s bien inopinado a la luz del planteamiento expreso que uno y otro dominio hab�an tenido en los libros V (magnitudes) y VII (n�meros).

Las dos mencionadas no son, desde luego, las �nicas met�foras que obran en el seno de los Elementos. Otras met�foras asimismo operantes aunque con menor presencia son las de (no) encuentro o (no) concurrencia -v.g. en la conceptualizaci�n de las paralelas, I, def. 23 y postulado 5-; movimiento de giro -v.g. XI, deff. 14, 15, 18, 19, 21-; inclinaci�n, quiz�s diagram�tica, v.g. I, def. 8; XI, deff. 5, 6, 7. Y todo ello sin contar las met�foras m�s socorridas en la geometr�a, las que vienen directamente ligadas a la representaci�n por medio de diagramas, como poner, cortar, prolongar, levantar o incidir, etc.; tambi�n en este punto se aprecian diferencias entre la geometr�a y la aritm�tica: si la primera es el campo de acci�n por excelencia del construir [syn�stemi, syst�sasthai], la segunda lo ser� en cambio del hallar [heure�n], en correspondencia con el papel casi irrelevante de los diagramas en las pruebas aritm�ticas -despu�s de Euclides llegar�n incluso a contraponerse el proceder dia gramm�n y el proceder di'arithm�n (cf. p.ej. Her�n, M�trica II 10.3; Tolomeo, Almagesto I 10, 32.1, VII 5, 193.19; Pappo, Coll. VI 600.9-13).

Pero antes de pasar a este segundo aspecto del rigor informal de las demostraciones eucl�deas, su aparato diagr�matico, resumir� dos caracter�sticas notables del uso de las met�foras en los Elementos: 1/ Algunas act�an desde el "p�rtico axiomatiforme" mismo -es decir: desde las definiciones, nociones comunes y postulados-, de modo que forman parte del escenario conceptual y de la urdimbre inferencial en que se desarrollan algunas teor�as relevantes, p.ej. la teor�a de la medida. 2/ No obstante, su uso en las proposiciones y las pruebas comporta cierta reelaboraci�n,

am�n del concurso de otras fuentes cognitivas integradas como algunos recursos operativos, nociones y teor�as e incluso f�rmulas y pautas inferenciales legadas por la propia tradici�n matem�tica pre-eucl�dea (p.ej. la log�stica pitag�rica, las contribuciones de Teeteto y Eudoxo o el lenguaje formulario de la reducci�n al absurdo ya detectable en Aut�lico de Pitania, respectivamente).

3. Diagramas.

Los usos ling��sticos son una vez m�s indicios elocuentes. Hay una tradici�n que llama "diagrama" a una proposici�n o un teorema (p.ej. Arist�teles, APr. 41b14, Metaphys. 998a25, y algunos comentadores como Ammonio, Scholia in Arist. IV 89b1 1; pero tambi�n Pappo, VII 638.17, 670.1-2). Por a�adidura, la geometr�a cuenta con una jerga especializada de t�rminos pr�cticos, metaf�ricos y gr�ficos -como los antes mencionados, por ejemplo-, donde gr�phein, en particular, recibe los significados t�cnicos de (1) describir, i.e. trazar l�neas no rectas o figuras no rectil�neas, y (2) probar por medio de diagramas (vid. Plat�n, Teeteto 147d). La menci�n de Plat�n a este respecto o, para el caso, la de Arist�teles, obliga a recordar el papel mediador de las representaciones diagram�ticas en el acceso a los objetos inteligibles geom�tricos, cf. p.ej. Rep�blica 510d-e, 527a-b, am�n de Arist�teles, APo. 77a1-2, De caelo 279b35-280a1 1. Pero hay una referencia aristot�lica que cobra singular relieve al ligar directamente la representaci�n diagram�tica con el hacer ver un teorema geom�trico: ��Por qu� los �ngulos del tri�ngulo equivalen a dos rectos? Porque los �ngulos en torno a un punto son iguales a dos rectos. En efecto, si se traza la paralela a uno de los lados, ser� inmediatamente evidente para quien lo contemple� (Metaphys. 105 1a21-30; cf. Elementos, I 31-32). En suma, si �di�gramma� viene a ser una denominaci�n meton�mica tradicional de una proposici�n probada, la configuraci�n diagram�tica que acompa�a a la proposici�n, su katagraph� o sch�ma, viene a ser una metonimia de la prueba.

Veamos qu� significa esto en la pr�ctica de los Elementos, sin ir m�s lejos en la proposici�n I 1: �construir un tri�ngulo equil�tero sobre una recta finita dada�. Es una proposici�n largamente usada y mencionada por sus poderes ilustrativos; entre fil�sofos, en particular, ha representado desde antiguo un paradigma de prueba informal que suple con los trazos de un dibujo bidimensional la carencia de postulados

expl�citos. Aqu� interesa adem�s por otros dos motivos: (1) presenta cabalmente la estructura de la demostraci�n que, a partir del comentario de Proclo al libro I, suele considerarse can�nica en los Elementos -aunque, de hecho, no pase de ser un canon relativo-; (2) guarda una relaci�n tan �ntima con el diagrama implicado que �ste, sin ser trivial o redundante a efectos demostrativos, puede inferirse inequ�vocamente a partir del texto discursivo mismo -son dos virtudes que, por cierto, no cabr�a extender a todas las proposiciones del tratado de Euclides 15. As� pues, dejar� al lector la reconstrucci�n de la figura y me limitar� a seguir el texto marcando entre corchetes los pasos "can�nicos" del desarrollo de la proposici�n.

[i]                              �Construir un tri�ngulo equil�tero sobre una recta finita dada [pr�tasis, enunciado].

[ii]                            Sea la <recta> AB la recta finita dada [�kthesis, exposici�n o introducci�n del caso a considerar por referencia de�ctica a una l�nea disponible o trazada].

[iii]                          As� pues, hay que construir sobre la recta AB un tri�ngulo equil�tero [diorism�s, determinaci�n o especificaci�n del objeto de la prueba por relaci�n al caso expuesto].

[iv]           Descr�base con el centro A y la distancia AB el c�rculo BΓ~, y con el centro B y la distancia BA descr�base a su vez el c�rculo AΓE, y a partir del punto Γ donde los c�rculos se cortan entre s�, tr�cense las rectas ΓA, ΓB hasta los puntos A, B 16 [kataskeu�, urdimbre o disposici�n de construcciones y relaciones a partir de lo dado y en orden a la obtenci�n del resultado propuesto].

[v]             Y puesto que el punto A es el centro del c�rculo Γ~B, AΓ es igual a AB; puesto que el punto B es a su vez el centro del c�rculo ΓAE, BΓ es igual a BA 17; pero se ha probado que ΓA es igual a AB; por tanto, cada una de las <rectas> ΓA , ΓB es igual a la AB. Ahora bien, las cosas iguales a una misma cosa son tambi�n iguales entre s� 18; por tanto, la ΓA es tambi�n igual a la ΓB; luego, las tres ΓA, AB, BΓ son iguales entre s� [ap�deixis, proceso demostrativo propiamente dicho].

[vi] Por consiguiente, el tri�ngulo ABΓ es equil�tero y ha sido construido sobre la recta finita dada AB. <Que es> lo que hab�a que hacer.� [Symp�rasma, conclusi�n]

Como a estas alturas, el lector ya tendr� ante los ojos el diagrama correspondiente, podr� hacerse cargo de lo justa que era la observaci�n aristot�lica citada arriba: por mal dibujante que sea, le bastar� mirar el dibujo trazado o imaginado al hilo del discurso para que la equilateralidad del tri�ngulo le resulte �inmediatamente evidente�. Dicho de otro modo, mientras el desarrollo discursivo de la prueba procura hacerle saber que el tri�ngulo en cuesti�n es equil�tero, la imagen c�mplice -gr�fica o mental- le hace ver este resultado, hace que la equilateralidad del tri�ngulo ABΓ salte a la vista. La integraci�n de ambos aspectos, el discursivo y el diagram�tico, convierte la construcci�n en una proposici�n a todas luces incontestable. Ser�a tan insensato poner en duda que si dos lados son iguales a un tercero, son iguales entre s�, como dudar de la evidencia de que los c�rculos descritos se cortan en el punto Γ. Pues bien, en esta complicidad entre el diagrama y el discurso, entre hacer ver y hacer saber, reside seguramente una de las claves del �xito del rigor informal de las pruebas eucl�deas -los hilos metaf�ricos de la trama tambi�n son, como ya hemos visto, ligaduras cooperantes-. En efecto, la proposici�n I 1 nos sigue pareciendo obvia y convincente, aunque hoy todo el mundo sabe que obra sobre ciertas suposiciones te�ricas no declaradas -p.ej. la imposibilidad de que dos rectas tengan un segmento com�n, la existencia de puntos de intersecci�n entre dos c�rculos-, como tambi�n es sabido que su convalidaci�n l�gica incluso, pese a descansar en �el poder de prueba de un axioma� �seg�n dec�a Galeno (Eisagog� xvi.6)�, podr�a prestarse a equ�vocos 19.

En esta perspectiva informal, el uso de los diagramas difiere del que suele atribuirles una larga tradici�n l�gica formal 20. En la tradici�n l�gica, un diagrama es una configuraci�n cuyas relaciones espaciales, usualmente topol�gicas, son isom�rficas con la estructura de una o m�s proposiciones, y est� dise�ado para resolver problemas de convalidaci�n, entre otros servicios -p.ej. did�cticos o ilustrativos. En el marco de los Elementos, y dentro de la tradici�n matem�tica subyacente, los diagramas son an�logamente medios de representar y resolver problemas geom�tricos -p.ej. la construcci�n de un tri�ngulo equil�tero-. Pero sus usos y funciones con respecto a la proposici�n correspondiente no tienen precisamente que ver con el isomorfismo, sino con la metonimia, al menos en geometr�a.

       Los diagramas parecen cumplir en los Elementos dos tipos de funciones, unas m�s bien generales, otras m�s bien espec�ficas en el sentido de venir precisamente introducidas por las cl�usulas de exposici�n [�kthesis] y de especificaci�n [diorism�s] que, seg�n ve�amos antes, forman parte del desarrollo discursivo de la proposici�n. Una funci�n gen�rica de los diagramas es la delimitaci�n del campo de referencia de la proposici�n dentro del escenario montado por las definiciones y los postulados. Hablo de escenarios por contraste con los universos de discurso contemplados en nuestras teor�as de modelos: se distinguen no s�lo por envolver met�foras b�sicas en su entramado, sino por tratarse de marcos de constituci�n y de interrelaci�n de determinados objetos matem�ticos (rectas, c�rculos, etc.) -no son, en absoluto, conjuntos de cualesquiera objetos capaces de satisfacer las condiciones axiom�ticas abstractas de un sistema formalizado-. As�, en el marco compuesto por las definiciones de los objetos pertinentes �con su urdimbre metaf�rica� y por los postulados adoptados en calidad de operaciones o construcciones autorizadas, Euclides conf�a en poder contar con un punto siempre que lo necesite y donde convenga; es la configuraci�n gr�fica misma la que, llegado el caso, se encarga de proveerlo. Pues el punto Γ de intersecci�n entre los c�rculos, en I 1, con ser un ejemplo flagrante no ser�a una muestra �nica: en el escenario de la geometr�a plana de los Elementos han de tener lugar intersecciones de rectas con rectas, curvas con curvas, rectas con curvas; sin embargo, Euclides s�lo parece contar expresamente y de antemano con puntos de intersecci�n entre rectas en virtud del postulado 5. A esta delimitaci�n y disposici�n del campo de referencia como un repertorio de objetos, en parte previstos, en parte construidos y en parte dados, la tramoya de la representaci�n a�n puede a�adir alg�n otro servicio de car�cter general: los diagramas no dejan de proporcionar tanto figuras manejables en un espacio finito y abarcable, como configuraciones estables de trazos hechos �conforme a la voz pasiva y el tiempo pasado de las expresiones verbales al efecto�. Pero de los diagramas tambi�n cabe esperar otros servicios m�s espec�ficos, relacionados con la configuraci�n precisa para la prueba del enunciado en cuesti�n. En particular, estos tres: (i) el de fijar y hacer ver el objeto de la prueba, i.e. la tarea a realizar o el caso a demostrar, -p.ej. con la �kthesis y el diorism�s de la proposici�n-; (ii) el de disponer las cosas en orden a su consecuci�n -p.ej. mediante la kataskeu� que da curso a la prueba-; (iii) el de mostrar en fin la consecuci�n misma. El diagrama viene a actuar en suma como una metonimia de la proposici�n correspondiente, de manera que la cl�usula de �kthesis o exposici�n no significa una "instanciaci�n" -en el sentido de la teor�a de la cuantificaci�n de nuestra l�gica formal-, sino una metonimizaci�n mediante deixis que se desarrollar� a trav�s de la kataskeu� hasta integrarse en la demostraci�n [ap�deixis] discursiva 21.

Ahora bien, para llegar a esta interpretaci�n hemos partido de la proposici�n I 1 y quiz�s no est� de m�s reconocer que se trata de un problema, una tarea a realizar - seg�n declaran la proposici�n misma [pr�tasis] y su especificaci�n [diorism�s]-, efectivamente cumplida -seg�n constata el remate formulario de la conclusi�n: �<Que es> lo que hab�a que hacer [QEF]�. En un teorema, en cambio, la especificaci�n vendr�a presidida por la f�rmula asertiva �Digo que ...� y la conclusi�n vendr�a rematada por la cl�usula �<Que es> lo que hab�a que demostrar [QED]�. Hay quienes han atribuido por estos u otros motivos una significaci�n trascendental a la distinci�n entre problemas y teoremas en la antigua matem�tica griega. A juicio de Proclo -y en mi opini�n- esta distinci�n no desempe�a un papel crucial en el texto de los Elementos de Euclides 22: queda lejos, por ejemplo, de la significaci�n que tienen las diferencias sustantivas entre objetos geom�tricos, magnitudes y n�meros. En todo caso, esas f�rmulas distintivas no hacen que los problemas sean en los Elementos m�s informales o "constructivos" -diagram�ticos- que los teoremas: en uno y otro tipo de proposici�n, los postulados de "construcci�n" tienden a estar presentes en la kataskeu�, as� como las nociones comunes y las cl�usulas consecutivas suelen pasar al primer plano en la ap�deixis; ninguno de los dos tipos es inmune a la acci�n de los supuestos t�citos, ni es refractario a la complicidad de la evidencia gr�fica. M�s a�n, y este es un punto de especial importancia para el rigor informal de las pruebas euclideas, ambos discurren sobre, y a trav�s de, referencias de�cticas a (elementos de) configuraciones diagram�ticas, v.g. �el� punto o �la� l�nea tal o cual 23. Es curioso que incluso en la teor�a generalizada de la proporci�n y en la aritm�tica, donde no hay postulados y la representaci�n diagram�tica no pasar�a de ser un recurso trivial, con fines meramente ilustrativos, Euclides mantenga esta misma formulaci�n de las deixis geom�tricas: un art�culo determinado seguido de la letra o letras que sustituyen el nombre del objeto referido, pero que concierta en g�nero con el nombre sustituido, v.g. �sea la A (o el A) una magnitud (o un n�mero)�, y cumple el cometido de un se�alador 24. Lo que se desprende de este uso matem�tico, no ocasional sino habitual y caracter�stico -al menos en los Elementos-, es que dichas letras nada tienen que ver con lo que hoy se entiende por "variable" en l�gica o en matem�ticas. Creo que esto merece una breve excursi�n a efectos comparativos por otros lugares en los que aparecen dichas letras con usos similares, an�logos y distintos; bastar� atenerse a unos textos de Arist�teles para caer en la cuenta del papel espec�fico de las letras de�ctico-diagram�ticas que caracteriza no s�lo a Euclides, sino a una tradici�n geom�trica griega.

 

4. Excurso sobre los usos de letras en Arist�teles.

En Arist�teles se pueden observar tres usos principales, a saber: en un papel de�ctico�diagram�tico, en un papel de abreviaturas y en una novedosa calidad de letras esquem�ticas �tiles a los efectos del an�lisis l�gico. Veamos algunas muestras:

4.1 En el papel de letras de�ctico-diagram�ticas, conforme a la tradici�n geom�trica. �Ll�vense al centro las <rectas> AB ... As� pues, si se asume que el �ngulo AΓ es igual al B~ ...� (APr. 41b15-10); �Sean las l�neas AA', BB', ΓΓ' iguales entre s�; qu�tese de la AA' el <segmento> AE y a��dase a la ΓΓ' el Γ~ de modo que la <l�nea> entera ~ΓΓ' exceda a la EA' en los <segmentos> Γ~ y ΓZ; <exceder�> por tanto a la BB' en el Γ~� (EN 11 32b5-9); �Tr�cense, pues, desde el centro las <rectas-radios> AB y AΓ y �nanse mediante la <cuerda> BΓ. As� pues, la perpendicular a la base, la A~ es menor que las <rectas> trazadas desde el centro; luego, el lugar es m�s c�ncavo� (De Cael. 1 87b8-14). Destacar� tres rasgos de este tipo de usos: se dan dentro de contextos geom�tricos; los art�culos que acompa�an a las letras llevan la marca del g�nero que corresponde al nombre del objeto representado (femenino cuando se trata de euthe�a [recta] o gon�a [�ngulo], neutro cuando se trata de tm�ma [segmento]); los tres pasajes envuelven referencias diagram�ticas �aunque, de hecho, no figure ning�n diagrama en las fuentes textuales que poseemos-.

4.2 En el papel de abreviaturas nominales. As� funcionan, por ejemplo, en los pasajes de la F�sica dedicados a la consideraci�n cr�tica de las apor�as de Zen�n; en particular: �si la magnitud ABΓ estuviera compuesta de los indivisibles A, B, Γ, cada parte del movimiento ~EZ de ~ sobre ABΓ, a saber A, B, Γ, ser�a indivisible.� (23 1b23-25). Aqu� los art�culos estar�an de m�s o ser�an irrelevantes. Se trata de un uso similar al que tiene lugar en diversos contextos para referirse distintamente -aunque no sea de�cticamente- a diversas cosas o individuos, como cuando decimos en un contexto jur�dico: "si B y C hubieran suscrito un contrato con A, entonces ...".

Tambi�n cabe hallar en Arist�teles alg�n pasaje que combina o mezcla los dos usos mencionados, 4.1 y 4.2. Por ejemplo, Meteor. 375b10 ss.: �Sea B el <arco> iris exterior; el interior, el primero, A; en cuanto a los colores sea Γ el escarlata, ~ el verde y E el c�rdeno; el rubio aparece en Z ... A partir del diagrama [impl�cito en el texto] ser� obvio para quienes lo estudien que no es posible que el iris forme un c�rculo ni tampoco una secci�n mayor que un semic�rculo, as� como lo relativo a las dem�s circunstancias que lo rodean. En efecto, siendo A un hemisferio <levantado> sobre el c�rculo del horizonte, K su centro y H otro punto cualquiera de salida <del sol> 25 ...� -sigue a continuaci�n una prueba de corte diagram�tico-discursivo.

4.3 En el papel de letras esquem�ticas o de una especie de "variables" de t�rminos, dentro del marco del an�lisis l�gico aristot�lico. Por lo que sabemos, es precisamente Arist�teles quien inicia este uso en la historia de la l�gica. As� que no vendr� mal recordar brevemente su proceso de introducci�n en APr. 25a1 -26. Arist�teles empieza ejemplificando clases de proposiciones (afirmativas, negativas, etc.) y de esquemas de inferencias (de conversi�n) mediante proposiciones o t�rminos sujeto-predicado que consisten en muestras triviales de la categor�a gramatical pertinente: la de proposici�n o de la t�rmino. P.ej. �ning�n placer es un bien�, �todo placer es un bien�, �si hombre no se da en alg�n animal, no por ello animal no <ha de> darse en alg�n hombre�. Pero luego, sin previo aviso, en 25a15 ss. aparecen las letras esquem�ticas o "variables" de t�rminos: �Sea la proposici�n ... AB. Si, pues, en ning�n B se da A, tampoco en ning�n A se dar� B ...�. M�s adelante, en el curso de la exposici�n de los silogismos del sistema, invertir� este orden de proceder: har� una exposici�n inicial mediante letras, que luego ejemplificar� o "instanciar�" en t�rminos ordinarios triviales, i.e. carentes de otro significado que no sea el de ser unos ejemplos cualesquiera. Sugiere incluso una especie de m�todo al respecto: el empleo de triplos de t�rminos dentro de un procedimiento expeditivo para recusar esquemas inferenciales mediante la verdad obvia de sus premisas y la falsedad palpable de su conclusi�n, p.ej. en APr. 26a5-9, 27b12-1 3; pero es un recurso tambi�n usual en otros contextos y reaparece p.ej. en 30b5: �T�rminos: movimiento, animal, blanco�, o en 33b7-8: �T�rminos comunes a todos los casos de darse necesariamente: animal, blanco, hombre; <a todos los casos> de no ser admisible: animal, blanco, vestido�. Por �ltimo, en la exposici�n metasilog�stica de la reducci�n entre modos y figuras (p.ej. en APr. 29a19-29b28 o en 50b5-51b4), esta ejemplificaci�n desaparece y s�lo tienen lugar las expresiones esquem�tico-literales. Arist�teles se permite utilizar las letras en lugar de los t�rminos de dos maneras: una directa, del tipo de �en ning�n B se da A� (25a15) o del tipo �B es animal y A hombre� (25a24); la otra indirecta, mediante la construcci�n epi+dativo/genitivo; ambas concurren a veces, p.ej.: �si A fuera movimiento, B animal y aquello por lo que [eph'h�, i.e. epi+dativo] Γ est�, hombre ...� (30a30).

En todo caso, un rasgo distintivo de este uso de las letras es el venir marcadas por el art�culo en g�nero neutro, �lo A ... [t� A ...]�, completamente al margen del g�nero de su presunto correlato pues como tal podr�a considerarse una expresi�n cualquiera de la categor�a pertinente, es decir: cualquier t�rmino silog�stico. Est� claro que las letras, en este contexto, no envuelven connotaciones diagram�ticas ni referencias de�cticas -aunque tanto Arist�teles como sus comentadores pudieran haber tenido ante los ojos alguna especie de diagramas a la hora de tratar con los silogismos-. Pero estas letras tampoco desempe�an el papel de las abreviaturas usuales. Son m�s bien una suerte de "variables" -muy distantes de las hoy usuales en los lenguajes formalizados o en la teor�a de la cuantificaci�n- o, mejor dicho, un recurso habilitado para la esquematizaci�n de formas proposicionales y de patrones deductivos (modos del silogismo). Digamos en conclusi�n que Arist�teles ha hecho l�gica formal, no l�gica formalizada. Euclides, por su parte, ni lo uno ni lo otro.

5. El de�knymi de los matem�ticos.

De�knymi [mostrar] es un t�rmino con varios y diversos usos, entre los que ahora importa destacar dos tendencias significativas: una, en la l�nea de presentar algo; otra, en la l�nea de probar que algo es el caso. La primera incluye los matices de exhibir o poner ante los ojos, apuntar o se�alar e, incluso, manifestar o dar a conocer por medio del lenguaje. En la segunda caben tanto el sentido ordinario y gen�rico de ser una prueba o dar pruebas, con las connotaciones de revelar, indicar, testimoniar, verificar, como el sentido m�s especializado de demostrar o probar de modo l�gicamente concluyente. Puede que el inter�s por demarcar esta �ltima acepci�n discursiva moviera a los fil�sofos a un uso alternativo de apode�knimi y ap�deixis, en particular a Arist�teles dentro del contexto l�gico y metodol�gico de los Anal�ticos. Pero el empleo de esta alternativa formada por el prefijo apo- (que a�ade un matiz an�logo al presente

en nuestros correlatos de-mostrar, de-mostraci�n), no excluye el uso pertinente del t�rmino b�sico en el mismo sentido y en los mismos contextos; el propio Arist�teles declara que �toda demostraci�n prueba algo de algo [p�sa ap�deixis ti kat� tin�s de�knysi]� (APo. 90b33-34). Lo cierto es que el uso discursivo y demostrativo de de�knymi es habitual en los textos matem�ticos cl�sicos, hasta el punto de conformar la f�rmula que da remate a la demostraci�n cumplida de un teorema: �lo cual hab�a que demostrar [h�per �dei de�xai]�. M�s a�n, a tenor del t�pico historiogr�fico quiz�s m�s extendido acerca de la matem�tica griega, este sentido fuerte es un rasgo no s�lo habitual sino distintivo de la fundaci�n de la matem�tica griega como ciencia deductiva, frente a las matem�ticas de su entorno, p.ej. los c�lculos y medidas babilonios o egipcios. Pero el t�pico suele venir enriquecido con alguna otra proyecci�n hist�rica a�adida e incluso, no pocas veces, acusa la sobrecarga de ciertas connotaciones o suposiciones filos�ficas.

Por ejemplo, seg�n una interpretaci�n muy difundida desde mediados de este siglo, el de�knymi de la deducci�n l�gicamente concluyente tambi�n marca el tr�nsito desde una matem�tica pitag�rica primitiva, que �se supone� practicaba pruebas y constataciones emp�ricas, hasta la matem�tica cl�sica de los ss. IV y III, que se sirve de conceptos abstractos y de procedimientos met�dicamente demostrativos 26. El salto parece inevitable en raz�n de resultados como la inconmensurabilidad de la diagonal con el lado (de un cuadrado o de un pent�gono regular): �ste es un caso de imposibilidad que no cabe establecer por medios ostensivos �constataciones diagram�ticas, comprobaciones pr�cticas, medidas directas o c�lculos efectivos, etc.-, sino que requiere toda la fuerza l�gica de una reducci�n discursiva al absurdo, a una contradicci�n expresa. Posteriormente, el estudio de los inconmensurables y otros desarrollos t�cnicos, p.ej. las pr�cticas de "exhausci�n", obligar�n a un uso sistem�tico de este procedimiento.

Por lo que toca a las connotaciones o suposiciones filos�ficas, hay dos especialmente discutibles: (1) Para empezar se supone que, por norma general, las pruebas intuitivas o "mostrativas" son no s�lo distintas de las demostraciones

l�gicamente concluyentes, sino incompatibles en todo caso con ellas. De modo que no s�lo hay resultados que no se dejan mostrar, �nicamente accesibles a trav�s de la demostraci�n l�gicamente concluyente, sino que, adem�s, la presencia de un recurso "mostrativo" contaminar�a o descalificar�a la deducci�n de cualquier presunto teorema, por m�s convincente que fuera. (2) De ah� se extrae la consecuencia de que las nociones imprecisas o, peor a�n, metaf�ricas y los diagramas de los Elementos o bien son secuelas residuales -indebidamente asumidas- de la matem�tica ingenua pre-eucl�dea, o bien son aditamentos que forman parte del colorido did�ctico o ret�rico de las pruebas, cuando no ambas cosas. As� pues, las referencias representativas y de�cticas de los Elementos y, en general, las formas de hacer ver que algo es el caso, involucradas en las pruebas eucl�deas, no pasar�an de ser ingredientes espurios, desechables o superfluos, de la deducci�n matem�tica cl�sica. Por mi parte creo, a la luz de lo que llevamos visto, que el de�knymi de Euclides no s�lo mostraba menos reservas ante sus recursos informales de evidencia y convicci�n que los mostrados hoy por sus int�rpretes, sino que el "plus de confianza" no le imped�a un ejercicio de la deducci�n relativamente riguroso. El rigor se aprecia, por ejemplo, en las pruebas de la necesidad de una configuraci�n, sobre la urdimbre y en el escenario propuestos, o en las pruebas de la necesidad de un resultado a partir de unas determinadas condiciones operatorias (p.ej. en la "teor�a" informal de las relaciones de medir a/ser medido por). Por lo dem�s, no s� de ning�n fil�sofo griego del saber demostrativo que diera en contraponer el valor concluyente de una demostraci�n a su poder de convicci�n, su validez l�gica a su fuerza argumentativa o incluso a su eficacia did�ctica; Arist�teles, el m�s calificado te�rico de la demostraci�n que hace saber (�syllogism�s episthemonik�s�), no lo hizo, desde luego. Pero, m�s all� de estas observaciones negativas, he apuntado tambi�n una interpretaci�n positiva del rigor informal de las pruebas eucl�deas a cuenta de la integraci�n entre las estrategias representativas de hacer ver y las discursivas de hacer saber en la trama de la demostraci�n matem�tica cl�sica. Adem�s, me gustar�a que esta interpretaci�n esbozara siquiera una conformaci�n interna de las pruebas, en la l�nea de una posible explicaci�n de sus cometidos y valores cognitivos. Estos son los prop�sitos �o las ilusiones al menos� de la propuesta que voy a aventurar.

6. Una interpretaci�n de las pruebas matem�ticas cl�sicas.

La larga historia de la filosof�a de las matem�ticas parece a primera vista dominada por dos grandes tendencias, la racionalista y la empirista, o por combinaciones de ambas. Al margen de sus discrepancias, coinciden en tomar la matem�tica como una forma de conocer -en alg�n caso, de ser� antes que nada. Pero cabe un tercer punto de vista en discordia: el que contempla las matem�ticas ante todo como un conjunto de actividades humanas. Vistas en esta perspectiva, las matem�ticas son determinadas pr�cticas interactivas y cognitivas de trato con el entorno que tienen lugar dentro de unos marcos hist�ricos y culturales de actuaci�n, transformaci�n, discurso, etc. Para no andar con rodeos, podemos calificar esta concepci�n de "humanista" -o, si se prefiere, "praxeol�gica" o "pragm�tica"-. En consonancia con ella, supongo que el punto de partida del conocimiento matem�tico es una gama de acciones m�s o menos comunes y m�s o menos especializadas, no s�lo diversas sino de distinto g�nero, como, por ejemplo, contar, medir, calcular, resolver, probar-a, construir, hallar, probar-que. Los procedimientos y conocimientos matem�ticos vienen a ser entonces desarrollos y resultados espec�ficos de estas acciones e interacciones, seleccionadas e integradas de modo variable con arreglo a su contexto te�rico propio y al marco cultural e institucional en que se desenvuelven. La historia de las cifras y de los sistemas de numeraci�n es un buen ejemplo de tales desarollos y variaciones. Pero algo parecido cabr�a decir tambi�n de la historia de las pruebas.

En atenci�n al caso que interesa, la conformaci�n de las pruebas eucl�deas, a�adir� algunas convenciones �dado su car�cter tentativo y provisional, no ser�n "precisiones". Convengamos en considerar operaciones las acciones con objetos o con instrumentos como el gn�mon, el �baco, el comp�s, etc., susceptibles de una normalizaci�n met�dica en orden a obtener un resultado. Los c�lculos ordinarios y la "log�stica" pitag�rica entrar�an dentro de este campo de acci�n. Tambi�n caben ah� procedimientos relativamente sofisticados como el algoritmo de anthypha�resis e, incluso ulteriormente, usos con proyecci�n no s�lo t�cnica sino especulativa -p.ej. en las l�neas aritmom�nticas y aritmol�gicas cultivadas por algunos neopitag�ricos y neoplat�nicos. Por representaciones entendamos las acciones o expresiones que incorporan a su dimensi�n semi�tica una determinada intenci�n significativa a�adida, del tipo de las acciones diagram�ticas o de las expresiones metaf�ricas, inclu�das las referencias a situaciones o casos imaginarios �digamos, "experimentos mentales"� como los introducidos por �noe�n [concebir, imaginar, considerar, figurarse]� en algunos pasajes de Euclides o de Arqu�medes (p.ej. Elem. IV 12 o M�todo 2, respectivamente). Si el cometido b�sico de una operaci�n es la obtenci�n de un resultado, el papel que corresponde a una representaci�n es m�s bien hacer ver tanto el proceso de obtenci�n como el resultado obtenido. Consideremos, en fin, lenguaje discursivo un modo de hacer determinadas cosas con palabras, en particular argumentos y cadenas de argumentos, que incluye la escritura m�s o menos normalizada de textos acerca de un dominio de objetos o de relaciones entre objetos y sus propiedades; los textos en este sentido cubren las proposiciones o aserciones, las demostraciones, las teor�as y, en general, cualquier procedimiento expresamente deductivo que diera o pretendiera dar cuenta y raz�n de que algo es el caso. Un objetivo caracter�stico del lenguaje discursivo ser� el hacer saber la raz�n o la necesidad propia del resultado.

Ni que decir tiene que tanto el hacer ver como el hacer saber son actuaciones de alguien referidas a alguien y, por consiguiente, son interacciones cognitivas aunque se presenten inertes y coaguladas bajo la forma de mon�logo impersonal que suelen revestir las pruebas matem�ticas textuales. La dimensi�n pragm�tico-did�ctica de los Elementos es precisamente uno de los rasgos sustanciales del tratado, tanto como lo pueda ser su estructuraci�n deductiva axiomatiforme, y en este sentido constituye una de sus claves hermen�uticas seg�n ha venido mostrando una tradici�n de comentadores y estudiosos de la obra de Euclides que se extiende desde los tiempos de Proclo hasta nuestros d�as 27. Por lo dem�s, hay diversos pasajes de los Elementos en los que se deja sentir con especial fuerza el inter�s de Euclides por ense�ar no s�lo conocimientos matem�ticos, sino t�cnicas o procedimientos para hacer matem�ticas, en suma, una especie de saber hacer �baste reparar, por ejemplo, en las secuencias de inscripciones y circunscripciones de figuras que componen las proposiciones 2-9 y 11-16 del libro IV, o

en los ejercicios con pares e impares que se suceden a lo largo de las proposiciones 21-34 del libro IX.

Creo que, sobre estos supuestos, puedo aventurar un esquema de interpretaci�n de los componentes caracter�sticos de las pruebas matem�ticas cl�sicas como el siguiente:

Actuaci�n b�sica ACCIONES [en especial: construir, hallar; probar-que]

Actuaci�n especializada - OPERACIONES - REPRESENTACIONES [de�knymi1: hacer ver]   - LENGUAJE DISCURSIVO [deiknymi2: hacer saber]

 

saber hacer

Aunque este esquema no deja de ser una especie de mapa mudo, tambi�n puede servir de recordatorio sumario del camino que hemos recorrido. En cualquier caso, como ahora no podr� desarrollar esta l�nea de interpretaci�n, ni los supuestos apuntados de integraci�n y realimentaci�n, dejar� la propuesta en mera sugerencia de una v�a de interpretaci�n y de explicaci�n de los poderes "l�gicos" y "ret�ricos" o, mejor dicho, cognitivos y efectivos de las demostraciones de los Elementos.

Pero no me resisto a a�adir dos observaciones al respecto. Una tiene que ver con la relativa selecci�n de acciones matem�ticas b�sicas que presenta el tratado de Euclides: no es un manual de contabilidad o de agrimensura, ni toma expresamente en consideraci�n las pr�cticas comunes de contar, medir, calcular o resolver problemas, sino que, al parecer, o las da por supuestas o se dedica a reelaborar una especie de trasuntos de la tradici�n matem�tica anterior, congruentes con un determinado n�cleo o cuerpo deductivo. Por otro lado, en alg�n caso emplea t�cticas de probar-a o ensayar ciertas construcciones geom�tricas o ciertas determinaciones num�ricas (p.ej. la de una cantidad finita dada de n�meros primos, IX 20), aunque s�lo como parte de una estrategia de demostraci�n indirecta, por reducci�n al absurdo de la posibilidad explorada; es sintom�tico que la tradici�n tampoco considerara los Elementos ni como una iniciaci�n al an�lisis, ni como una obra de investigaci�n, sino como el tratado por excelencia de la s�ntesis o exposici�n concluyente de las bases de la matem�tica griega cl�sica.

La otra observaci�n es a�n m�s imperiosa en el presente contexto pues se refiere a la integraci�n entre las estrategias operacionales, representativas y discursivas, en que descansa el rigor informal de las pruebas de Euclides. Se trata, por lo dem�s, de un aspecto en el que he venido insistiendo a lo largo de los apartados anteriores, de modo que no creo que necesite un �nfasis mayor. Baste recordar el caso de la teor�a de la medida aritm�tica, en cuyo desarrollo intervienen y se articulan procedimientos operacionales (p.ej. la anthypha�resis), met�foras conceptuales (p.ej. la de todo/partes) y pruebas discursivas que, de consuno, no s�lo establecen la obtenci�n de ciertos resultados (p.ej. la determinaci�n de la medida com�n m�xima de dos o m�s n�meros no primos entre s�), sino que dan lugar a proyecciones te�ricas ulteriores (como, siguiendo el mismo ejemplo, la existencia de un criterio de conmensurabilidad/inconmensurabilidad y, consiguientemente, de un criterio de proporcionalidad entre magnitudes). Al hilo de esta integraci�n �en especial, la que entreteje las formas de hacer ver y las de hacer saber� corren parejas la significaci�n cognitiva, la fuerza demostrativa y el poder de convicci�n de la demostraci�n matem�tica cl�sica o, al menos, de las pruebas que suelen considerarse paradigm�ticas en los Elementos. En fin, quiero suponer que en ese tejido representativo-discursivo de la deducci�n es donde reside una clave importante no s�lo para entender el rigor informal de las pruebas de Euclides �seg�n creo haber mostrado�, sino, m�s a�n, para llegar a explicarnos su duradero �xito.

Ahora bien, entre dar con una clave o reconocer su importancia y desvelar su sentido o mostrar su funcionamiento, media un buen trecho. Y en el presente caso, me temo que la supervivencia del poder de convicci�n y de prueba de una matem�tica desaparecida hace ya tiempo sigue siendo un fen�meno curioso que pide explicaci�n. Cabr�a pensar en una especie de complicidad t�cita, como si hoy los matem�ticos siguieran practicando en casa un rigor informal parecido, antes de poner en limpio su contribuci�n para someterla al escrutinio p�blico y a los criterios o est�ndares vigentes en la comunidad acad�mica; o, incluso, cabe pensar que algunas de nuestras pautas de concepci�n y entendimiento se mantienen constantes a trav�s de los diversos marcos de actuaci�n y por debajo de las variaciones te�ricas y metodol�gicas que han tenido lugar

11 Los antiguos griegos no eran navegantes especialmente torpes en este maremagno: a la luz del ya mentado Frege (1884), Fundamentos de la aritm�tica, c. III, los naufragios en torno a la unidad, el uno y el n�mero se siguen sucediendo hasta bien avanzado el s. XIX.

12 Imagine que est� de sobremesa tras la cena en casa de un amigo y, de repente, suenan las campanadas del reloj de pared. "Caray, ya son las tres y t� tendr�s que madrugar. Debo irme.� �Bueno, no creas que es tan tarde -responde su amigo-. Mi reloj de pared se ha vuelto un poco raro: no ha dado las tres, sino tres veces la una�. Me temo que la mera aplicaci�n de la met�fora del todo y las partes a la unidad y al n�mero no servir�a aqu� de mucho.

13 Vid. M. Caveing, La constitution du type math�matique de l'id�alit� dans la pens�e grecque. Vol. 2, La figure et le nombre. Villeneuve d'Ascq: Presses Universitaires du Septentrion, 1997, que rastrea este procedimiento operativo hasta la matem�tica egipcia.

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23 De este proceder de�ctico ya hay constancia en la tradici�n pre-eucl�dea, p.ej. en la prop. 1 de La esfera en movimiento de Aut�lico: �Sea una esfera cuyo eje sea la recta AB, los polos de la misma los puntos A y B, y gire uniformemente en torno a su eje, el AB. <...> Tomemos, pues, alg�n punto en la superficie de la esfera, el Γ. Y desde el Γ bajemos sobre la recta AB en perpendicular la ΓA ...�. Cf. tambi�n Arist�teles, infra.

24 Agradezco a Thomas Moro Simpson sus problemas y sugerencias en torno al papel ostensivo e indicativo de estas letras diagram�ticas. Por desgracia, el uso eucl�deo parece ser sistem�ticamente ambiguo desde un punto de vista filos�fico y anal�tico. Quiz�s un ejemplo ayude a ilustrar -antes que a resolver- el caso: asisto al ensayo de una representaci�n del Don Juan de Zorrilla, donde los actores visten camisetas marcadas con letras y, en particular, el actor que hace de D. Juan se llama Jaime y lleva la camiseta con la letra M. Si alguien me pregunta qu� pienso de Jaime, puedo entender que se refiere al actor; si me pregunta qu� pienso de D. Juan, puedo entender que se refiere al personaje; pero si me preguntara qu� pienso del M, podr�a entender que se refiere ambiguamente al actor o al personaje o al combinado de ambos. Pues bien, las letras diagram�ticas vendr�an a ser como las letras de las camisetas, mientras que los puntos o l�neas del diagrama ser�an como los actores de la representaci�n y los objetos geom�tricos ser�an como los personajes de la obra.